L'ensemble de Mandelbrot
Cet ensemble
a été découvert par le mathématicien Benoît
Mandelbrot
Soit c dans C, zo=0, zi+1=zi2+c
c appartient à l'ensemble de Mandelbrot si |zi| ne tend pas vers l'infini. On recommence pour tout c dans C.
En pratique : On choisi un nombre maximum N d'itérations et une limite l : si pour un i<N+1 on a |zi|>l, le point c n'est pas dans l'ensemble de Mandelbrot.
Remarque : C'est la frontière de
l'ensemble qui est fractale, et elle est de dimension 2.
Les ensembles de Julia
Cet ensemble a
été decouvert par le mathématicien Julia
Soit c fixe dans C, zo dans C, zi+1=zi2+c
zo appartient à l'ensemble de Mandelbrot si |zi| ne tend pas vers l'infini. On recommence pour tout zo dans C.
En pratique : On choisi un nombre maximum N d'itérations et une limite l : si pour un i<N+1 on a |zi|>l, le point c n'est pas dans l'ensemble de Julia de parametre c.
Remarque :
- C'est la frontière de l'ensemble qui est fractale.
- On remarque que, ``au cheval près'', la définition de l'ensemble de Mandelbrot et des ensemble de Julia sont similaires. En fait, l'ensemble de Mandelbrot est l'ensemble des points c tels que l'ensemble de Julia de parametre c soit connexe.
Les ensembles de Newton
Ces ensembles
sont ainsi appelés car ils découlent de la résolution
du problème de la recherche des zéros d'une fonction par
la méthode de Newton.
Soit une fonction f à valeur dans C, et dérivable dans C, on prend zo dans C, zi+1=zi-f(zi)/f'(zi)
Il y a alors deux manières de procéder : soit on s'intéresse à |zo-zi| et alors on fait comme précédemment, soit on se demande vers quel zéro rk la suite converge et on s'intéresse à |zi-rk|.
En pratique : Selon l'objectif, soit on choisi un nombre maximum N d'itérations et une limite l : si pour un i<N+1 on a |zo-zi|>l, le point zo n'est pas dans l'ensemble de Newton de paramètre f.
